একটি গােলবের ব্যাসার্ধের বৃদ্ধিহার এবং পৃষ্ঠদেশের ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধিহার সংখ্যাসূচক ভাবে সমান হলে, গােলকটির ব্যাসার্ধের মান কত হবে?

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে। সাধারণ কিছু পদ্ধতি নিচে আলোচনা করা হলো:

১. ভিত্তি ও উচ্চতা ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

যদি ত্রিভুজের একটি ভিত্তি (Base) \( b \) এবং উচ্চতা (Height) \( h \) জানা থাকে, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( A \) নির্ণয় করা যায় নিচের সূত্র দিয়ে:
\[
A = \frac{1}{2} \times b \times h
\]

২. তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দিয়ে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

যদি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), এবং \( C(x_3, y_3) \) জানা থাকে, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( A \) নির্ণয় করা যায় নিচের সূত্র দিয়ে:
\[
A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

৩. হারনের সূত্র (Heron's Formula) দিয়ে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

যদি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য \( a \), \( b \), এবং \( c \) জানা থাকে, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( A \) নির্ণয় করতে হারনের সূত্র ব্যবহার করা হয়। প্রথমে, ত্রিভুজের পরিধির অর্ধেক \( s \) বের করতে হবে:
\[
s = \frac{a + b + c}{2}
\]
এরপর, ক্ষেত্রফল \( A \) নির্ণয় করতে নিচের সূত্র ব্যবহার করা হয়:
\[
A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}
\]

উদাহরণ

ধরুন, একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( A(1, 2) \), \( B(4, 6) \), এবং \( C(7, 2) \)।

সমীকরণ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল:

\[
A = \frac{1}{2} \left| 1(6 - 2) + 4(2 - 2) + 7(2 - 6) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 1 \times 4 + 4 \times 0 + 7 \times -4 \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 4 - 28 \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \times 24 = 12
\]

অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( 12 \) বর্গ একক।

এই পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে বিভিন্ন ধরনের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।